令和6年1月期 A－19

wavelane の解説（公式の解説ではありません）

利得と開口効率から反射鏡の直径をさかのぼり、与えられた式へ入れて指向性測定に要る最短距離を出す。デシベルの真数化が最初の関門。

1. 手順1波長を出す。30 GHz = 30000 MHz。
   $$\lambda =\frac{300}{30000}=0.01\mathrm{m}$$
2. 手順2利得を真数へ直す。電力比なので 10 で割って 10 のべきに戻す。与えられた log10 2 = 0.3 から 10^0.6 = 4 が使える。
   $$G=10^{46/10}=10^4\times 10^{0.6}=10^4\times 4=4\times 10^4$$
3. 手順3開口面アンテナの利得の式を直径について解く。開口効率は割る側に来る。
   $$D=\frac{\lambda }{\pi }\sqrt{\frac{G}{\eta }}=\frac{0.01}{3.14}\sqrt{\frac{4\times 10^4}{0.8}}=\frac{0.01\times 223.6}{3.14}=0.712\mathrm{m}$$
4. 手順4与えられた式へ直径を入れる。
   $$R_{\min }=\frac{2D^2}{\lambda }=\frac{2\times 0.507}{0.01}=101\mathrm{m}$$

求める値は 101 m(選択肢の 100 m)。したがって正答は選択肢 1 である。