令和5年7月期 第1回 A－4

wavelane の解説（公式の解説ではありません）

円形の開口の利得は、開口効率に口径と波長の比の円周率倍を2乗したものを掛けた値である。口径が波長の80倍になることに気づけば、対数の分解だけで答えが出る。

1. 手順112 GHz の波長は 0.025 m なので、口径 2 m は波長の80倍である。
   $$\lambda =\frac{3\times 10^8}{12\times 10^9}=0.025\mathrm{m},\frac{D}{\lambda }=80$$
2. 手順2利得の真数は開口効率×(πD/λ)² である。80² = 6400 なので、2の累乗と円周率の2乗に分けておく。
   $$G=0.8\times (80\pi {)}^2=0.8\times 6400\times {\pi }^2=5120{\pi }^2=2^{10}\times 5\times {\pi }^2$$
3. 手順3与えられた対数で分解する。5 は 10/2 と見れば 1 − 0.3 = 0.7 である。
   $${\log }_{10}G=10\times 0.3+0.7+2\times 0.5=4.7$$
4. 手順4デシベルへ直すと 10 倍して 47 dB になる。
   $$10{\log }_{10}G=47\mathrm{dB}$$

求める値は 47 dB。したがって正答は選択肢 2 である。