レーダと散乱 — レーダ方程式から読み解く

パルスレーダの構成は驚くほど少ない部品でできている。短い電波のかたまり(パルス)を作る送信機、1本のアンテナを送信と受信で使い分ける送受切替器(デュプレクサ)、鋭いビームを作って回転するアンテナ、戻ってきた微弱な信号を増幅する受信機、そして結果を映す指示器である。送信機がパルスを出している間、受信機の入り口は閉じられている。自分の送信波は目標からの反射波より桁違いに強いので、開けたままでは受信機が壊れるか飽和してしまうからだ。

そのパルスが目標に当たって戻ってくるまでの時間を測る。電波の速さは c = 3×10⁸ m/s と分かっているので、時間から距離が出る。ただしパルスが通った道のりは目標までの距離の2倍——行きと帰りがあるから——なので、往復時間に光速を掛けたものを2で割る必要がある。これがレーダのいちばん基本の式である。

この式には、往復時間τとは別に、パルスそのものの長さも登場する。混同しやすいので記号を分けておく。往復時間はτ、パルス幅はτ_pと書く。パルス幅は距離分解能を決める量である。2つの目標が近すぎると、手前の目標からの反射パルスの尻尾と、奥の目標からの反射パルスの頭が重なってしまい、1つの目標に見える。分離できる最小の距離の差が距離分解能で、これもやはり往復するので c τ_p / 2 になる。

つまりパルス幅は板挟みの量である。細くすれば距離分解能は良くなり、近距離の目標も見えるようになるが、1発あたりのエネルギーが減るので遠くの目標が拾えなくなる。太くすれば遠くまで届くが、近くの2つの目標が団子になる。この板挟みを解く工夫がパルス圧縮で、第5章で触れる。

もう1つの板挟みが繰返し周期Tである。パルスを出したあと、次のパルスを出すまでに戻ってこなければ、その反射波は次のパルスの反射と区別できない。

条件を入れて確かめる。パルス繰返し周波数f_p = 1000 Hzなら T = 1 msだから、R_u = 3×10⁸ × 1×10⁻³ / 2 = 150 km。これより遠い目標のエコーは、次の送信の後に届いてしまい、近くにあるかのように表示される(距離の曖昧さ)。つまりf_pを上げると、測れる距離の上限R_uは反比例して下がる。

ただし下がるのはこの曖昧さの限界だけである。第2章のレーダ方程式が与えるR_maxは、ピーク送信電力・パルス幅・アンテナ利得・目標の散乱断面積・受信機の最小検出電力で決まる量である。これらを固定し、1発のパルスで検出する単一パルスの式で見るかぎり、感度の限界(第2章のR_max)はf_pでは動かない。

この前提を外せば話は変わる。ピーク電力とパルス幅を保ったままf_pを上げると、同じ時間に目標へ当たるパルス数が増えるので、受信側でそれらを積分すれば実効的な検出感度は上がる。試験で問われるのは単一パルスの式なので、まず「R_uはf_pで動き、R_maxは動かない」を軸に置き、積分の効果は前提を外したときの例外として覚えておけばよい。

実際に届く範囲は、この2つの制約のうち小さい方で決まる。

レーダの受信電力の式は、書き下すと項が多くて覚えにくい。しかし、送信・再放射・受信の3段に分けて順に追えば、その場で組み立て直せる。どの段も、これまでの教材で扱ってきた量しか使わない。自由空間伝搬教材の「球面に広がって薄まる」と、アンテナ利得教材の「実効面積で捕まえる」の2つだけである。

第1段。送信電力P_t[W]を利得Gのアンテナで放射すると、距離R[m]の地点の電力束密度は、等方性アンテナなら球面4πR²に均等に広がるところをG倍に集中させた値になる。これは電界強度教材で扱っている量そのものである。

第2段。目標はこの電波を受けて再放射する。どれだけ再放射するかを1つの面積で代表させたのが散乱断面積σ[m²]である。定義は第3章で詳しく見るが、ここでは「目標は面積σぶんの電力を受け取り、それを全方向へ等方にまき散らす」と読んでよい。そう決めたのが定義だからだ。すると再放射される電力はp_iσ[W]で、これがまた球面状に広がってレーダへ戻る。距離は同じRなので、もう一度4πR²で割ることになる。

第3段。戻ってきた電力束密度を受信アンテナが捕まえる。捕まえられる量は実効面積A_e[m²]で決まり、利得Gのアンテナの実効面積は A_e = λ²G/(4π) である。これはアンテナ利得教材で扱っている関係で、波長が長いほど同じ利得でも開口が大きいことを意味する。送信と受信に同じアンテナを使うのがパルスレーダの通例なので、Gは送信のときと同じ値になる。

4πが3回出てくる理由も、3段に分ければ迷わない。片道で1回ずつ、計2回が球面への広がりから、残る1回が実効面積の式λ²G/(4π)から来ている。(4π)²だと1つ足りず、(4π)⁴だと1つ多い。数え方を覚えるより、どこから来たかを覚えるほうが確実である。

この式は、自由空間伝搬教材の損失を2回使う形にも書き直せる。片道の自由空間基本伝送損L_fs(真数)は(4πR/λ)²だから、目標を「利得4πσ/λ²のアンテナ」だと思えば、レーダは送信アンテナ→片道の自由空間損失→目標という中継局→もう一度片道の自由空間損失→受信アンテナ、という2ホップの回線になる。デシベルで足し引きするだけで受信電力が出せるので、実際の計算はこちらのほうが速い。

数値を入れてみる。送信電力P_t = 100 kW(50 dBW)、アンテナ利得G = 35 dBi、周波数3000 MHz(λ = 300/3000 = 0.1 m)、目標のσ = 10 m²、距離R = 50 kmとする。目標の等価利得は 4π×10/0.1² = 12566 ≒ 41.0 dB、片道の自由空間基本伝送損は 32.45 + 69.54 + 33.98 = 135.97 dB。したがって受信電力は 50 + 70 + 41.0 − 271.94 ≒ −110.9 dBW、電力にして約8 pWである。100 kWで送って戻ってくるのがピコワットの世界だという桁感覚こそ、レーダで最初に持っておきたいものだ。

R⁴という依存の強さは、レーダの設計を根本から縛る。距離が2倍になると受信電力は1/16、デシベルでは40log₁₀2 ≒ 12.04 dB下がる。通信の片道伝搬なら2倍で6 dBだから、ちょうど倍の落ち込みである。逆に見ると、探知距離を伸ばすのは非常に高くつく。最大探知距離R_maxは、受信機が検出できる最小の電力S_minを受信電力が下回る点なので、レーダ方程式をRについて解いた4乗根の形になる。

そもそも、なぜ物体は電波を返すのか。周囲と電気的な性質(媒質定数)が違う物体に電波が当たると、物体の中で電荷が動く。金属のような導体では自由電子が動いて導電電流が流れ、誘電体では束縛された電荷がわずかにずれて分極が起きる。動く電荷は電波を出すから、この電流や分極そのものが新しい波源になる。物体は電波を「跳ね返す」のではなく、いったん受け取って、二次的な波源として自分から出し直している。これが再放射で、散乱と呼ばれる現象の中身である。

とはいえ、再放射の様子を目標ごとに厳密に計算するのは現実的でない。そこでレーダでは、目標がどれだけ電波を折り返すかを、たった1つの面積で代表させる。それが散乱断面積σ[m²]である。定義は、目標から十分離れた受信点で測った散乱波の電力束密度p_sと、目標に入射した平面波の電力束密度p_iの比に、4πd²を掛けたものになる。

この定義式は、言葉に直すと第2章で使った読み方そのものになる。「入射波の進行方向に垂直な面積σを通る電力を全部受け取り、それを全方向へ等方にまき散らす仮想的な散乱体」に置き換えたとき、受信点で観測される散乱電力が実際の目標と同じになる。そう決めた面積がσである。ここで大事なのは、置き換えた先の仮想的な散乱体が無指向性だという点だ。実際の目標は方向によって返し方がまるで違うのに、定義の側は等方にならしてある。だからσは「その方向へ測ったときの値」であって、方向が変われば別の値になる。

方向のうち、レーダにとって特別なのが1つある。送信と受信を同じ場所で行うレーダでは、電波が来た方向へまっすぐ返ってくる成分しか使えない。この入射方向へ戻る散乱を後方散乱と呼び、そのときのσをレーダ断面積(後方散乱断面積)という。ふつう「レーダ断面積」「RCS」と言えばこれを指す。ちなみに目標の向こう側、進行方向へ抜ける散乱は前方散乱で、こちらは後方散乱よりはるかに大きいことが多いが、単基地のレーダでは受けられない。送信と受信を離れた場所に置くバイスタティックレーダはこの成分を使う。

σは幾何学的な断面積とは別物である。同じ形の物体でも、材質が違えば違う値になり、向き(姿勢)が数度変わっただけで桁が動くこともある。そして波長との関係で、まったく違う3つのふるまいを見せる。金属球を例に取ると、半径rと波長λの比によって領域が分かれる。

σを大きくする方向の工夫があるなら、小さくする方向の工夫もある。ステルスの考え方は2つに整理できる。1つは形をいじる方法で、平面を傾け、直角の組合せを避けて、入射してきた方向へは戻さず別の方向へ逃がす。第4章の鏡面反射の性質を逆手に取っている。もう1つは材質で、電波吸収材を貼って反射そのものを減らす。ただし効果には注意が要る。R_maxはσの4乗根に比例するので、σを1/100にしても探知距離は 100^(−1/4) ≒ 0.32倍にしかならない。3分の1になるのは大きいが、消えるわけではない。

同じ「返す」でも、返し方はいくつかに分かれる。分ける物差しは2つしかない。目標の表面の粗さが波長に比べてどうか、そして目標の大きさが波長に比べてどうか、である。どちらも比べる相手は波長だという点が共通していて、レーダの周波数が変われば同じ物体でも分類が変わる。

まず表面の粗さで分ける。波長に比べて十分に滑らかな面に当たった波は、入射角と反射角が等しい向きへまとまって進む。これが鏡面反射である。レーダにとっては厄介で、面が正対していないかぎり反射波はよそへ行ってしまい、こちらへは戻らない。飛行機の平らな面を傾けるステルスの設計が効くのはこの性質のおかげである。逆に、凹凸が波長と同程度以上ある粗い面では、各部分がばらばらの向きへ返すので、全体としてはあらゆる方向へ散る。これが拡散反射で、地表や海面がこれにあたる。同じ地面でも、波長の長いレーダから見れば滑らかに、短いレーダから見れば粗く見える。

次に目標の大きさで分ける。目標が波長よりずっと小さいとき、その散乱をレイリー散乱と呼ぶ。第3章で見たとおりσはr⁶/λ⁴に比例するので、波長が短いほど——周波数が高いほど——強く返る。周波数を2倍にするとσは16倍になる勘定である。空が青いのも、大気分子による太陽光のレイリー散乱で波長の短い青がよく散るからで、原理は同じである。目標の大きさが波長と同程度になるとミー散乱の領域に入り、σは共振して山と谷を繰り返す。この領域では単純な比例則が書けない。

この1/λ⁴が、降雨エコーの性格を決めている。雨滴の直径は数ミリで、マイクロ波の波長(センチメートル級)より小さいからレイリー散乱の領域に入る。したがって波長の短いレーダほど雨がよく見える。気象レーダが雨を映すためにCバンドやXバンドを使うのはこのためだ。逆に、雨を見たくない用途では波長の長い帯域を選ぶ。第5章で扱う空港監視レーダがSバンド(波長10 cm級)を使う理由の1つがこれで、降雨による反射も減衰も小さく抑えられる。

目標以外からの不要な反射をまとめてクラッタと呼ぶ。地表からのグランドクラッタ、海面からのシークラッタ、降雨によるレインクラッタ、鳥や昆虫によるものまである。ここで効いてくるのが、点の目標と広がった目標の違いである。航空機のような点目標からの受信電力は第2章のとおりR⁴に反比例する。ところが雨のように空間に分布した目標では、距離が伸びるとビームが広がって、1度に照らされる体積がR²に比例して増える。σが体積に比例して増えるので、受信電力はR⁴で減りながらR²で増え、差し引きR²に反比例するにとどまる。つまり遠くへ行くほど、目標のエコーに対して雨のエコーが相対的に強くなる。

第2章で見たとおり、戻ってくる電力はピコワットの世界である。しかも受信機の内部では雑音が絶えず発生しているから、1発のパルスだけを見ていては目標が雑音に埋もれる。そこでレーダは、同じ目標を何度も照らして信号対雑音比(S/N)を稼ぐ。アンテナが回転していても、ビームが目標を通り過ぎるまでの間に何十発ものパルスが当たっているからだ。

n発ぶんのエコーを足し合わせるのがパルス積分である。信号は毎回ほぼ同じ形で戻るので足すぶんだけ素直に増えるが、雑音は毎回でたらめなので打ち消し合って増え方が鈍い。位相までそろえて足すコヒーレント積分ではS/Nがn倍になり、10log₁₀n[dB]の改善が得られる。100発なら20 dBである。検波後に足すビデオ積分(非コヒーレント積分)では位相の情報が失われているのでここまでは伸びず、改善量はおよそ√n倍からn倍の間に落ち着く。

第1章で見たパルス幅の板挟み——遠くまで届かせたいが分解能も欲しい——を解くのがパルス圧縮である。長いパルスを送りながら、その中で周波数を連続的に変えておく(チャープ)。受信側で周波数ごとに遅延を変える整合フィルタを通すと、長かったパルスが時間軸上で短く畳み込まれる。送信のエネルギーは長いパルスぶん稼ぎつつ、距離分解能は圧縮後の短いパルス幅で決まる。両方を同時に取る工夫である。

次は、静止したクラッタの中から動く目標を取り出す話。目標が動くと、往復するあいだに距離が変わるので、戻ってくる波の位相がパルスごとに少しずつずれる。静止した目標なら位相は毎回同じである。そこで、1周期ぶん遅らせたエコーと今のエコーの差をとると、位相の変わらない静止目標だけが消え、動く目標が残る。これがMTI(移動目標指示)で、遅延線とその引き算だけで実現できる。

位相のずれを周波数として測るならドップラー効果である。速度v[m/s]で近づく目標からの反射波は、ドップラー周波数f_d = 2v/λだけ高くなる。2が付くのは、目標が動いた距離のぶん往路と復路の両方が短くなるからで、ここでもレーダの往復性が顔を出す。周波数3000 MHz(λ = 0.1 m)のレーダで秒速30 mの目標なら、f_d = 2×30/0.1 = 600 Hzである。

測った距離と方位をどう見せるかが表示の問題である。レーダの標準的な表示がPPI(平面位置表示)で、画面の中心をレーダの位置とし、アンテナの向いている方位に同期して輝線を回転させ、中心からの距離を半径方向に、エコーの強さを輝度で表す。地図と同じ向きで目標の配置が読めるのが利点である。ここで画面上の分解能を決めているのは、半径方向がパルス幅(距離分解能)、円周方向がビーム幅(方位分解能)である。

最後に、用途がアンテナの指向性そのものを決める例を見る。空港の周辺を監視するレーダを考えよう。水平面内では、方位を細かく分けたいのでビーム幅を非常に狭くする。第1章で見たとおり、方位分解能はビーム幅そのものだからだ。問題は垂直面内である。真上に近い高い仰角の航空機は近く、低い仰角の航空機は遠い。同じ高度を飛んでいても、仰角が違えば斜距離が違ってしまう。

そこで、垂直面内の指向性をG(θ) ∝ cosec²θ、つまりコセカントの2乗に比例させる。仰角が低い(=遠い)方向ほど利得を高くする形である。効き目を確かめよう。受信電力はレーダ方程式よりG²/R⁴に比例する。G² ∝ cosec⁴θで、R⁴ = H⁴cosec⁴θだから、比をとるとcosec⁴θが約分されて消える。残るのは1/H⁴だけで、仰角にも斜距離にも依存しない。等高度で飛ぶかぎり、遠くにいても近くにいても同じ強さで返ってくることになる。この用途に合わせて作られた指向性をコセカント2乗特性と呼ぶ。