デシベルの基礎 — 掛け算を足し算に変える物差し

テレビ塔の送信機は10kWを送り出す。同じ電波を数十km先のアンテナが受け取るとき、そこに届いている電力は1pW(1兆分の1W)のオーダーになる。この2つを同じ紙の上に、同じ目盛りで描いてみてほしい——できない。送信電力を紙の幅いっぱいの10cmの棒で描くと、受信電力の棒は原子より小さくなる。無線は、そういう桁の広い世界である。

困りごとはもう1つある。伝搬の計算は掛け算だらけだということだ。送信電力に送信アンテナの利得を掛け、距離による損失で割り、給電線の損失でまた割り、受信アンテナの利得を掛ける。100 × 10 ÷ 1.76×10¹¹ × 10 のような計算を、試験会場で電卓なしにやることになる。指数の付いた数を4つも5つも掛けたり割ったりして、桁を1つ間違えれば答えは10倍ずれる。

ここで対数の出番になる。対数には log(A×B) = log A + log B という性質がある。掛け算が足し算に、割り算が引き算に化けるのだ。量そのものではなく量の対数を持ち歩くことにすれば、桁の広さは圧縮され、掛け算の連鎖は足し算の行列に変わる。この「対数で持ち歩く」という決断に、10倍して単位をつけたものがデシベルである。

デシベルの定義は1行で書ける。2つの電力P₁とP₂の比を取り、常用対数(底が10の対数)を取って、10倍する。それだけである。

ここで最初に飲み込んでおくべきことがある。デシベルは比の単位であって、量の単位ではない。「10dB」と言われても、それだけでは何ワットなのか決して分からない。分かるのは「何かに比べて10倍である」ということだけだ。長さでいえばメートルではなく「2倍」に相当する言葉である。dBの値から元の倍率へ戻した数を真数と呼び、真数は 10^(dB/10) で求まる。

無線工学でよく出会う数字を、この定義で確かめておこう。利得3dBのアンプは電力を約2倍にする装置であり、損失20dBのフィルタは電力を100分の1にする回路である。0dBは「1倍」、つまり増えも減りもしないことを意味する。ここで0dBが「無い」ではなく「等しい」だという点は、試験でも実務でもよく取り違えられる。

次に、多くの人がつまずく20log₁₀の話をする。電界強度や電圧をデシベルで表すとき、定義の係数は10ではなく20になる。これは別のルールを新しく覚える話ではなく、まったく同じ定義から出てくる帰結である。電力は電圧の2乗に比例する(P = V²/R)。だから電力比を取ると電圧比の2乗が現れ、対数の中の2乗は前へ出て2倍になる。10 × 2 = 20 というだけのことだ。

この係数の違いは、同じ「6dB」がどこに現れるかで印象が変わる。電力が2倍になるのは3dB、電圧が2倍になるのは6dBである。逆に言えば、電圧が2倍になれば電力は4倍(6dB)になっているわけで、両者は矛盾していない。自由空間損失の式に20log₁₀が2つ並んでいるのも、電界強度が距離に反比例する(電力は距離の2乗に反比例する)という素直な事実の反映である。

デシベルの本当の威力は、電卓を置いた瞬間に現れる。覚えるべき数はたった2つ、必要なら3つでいい。10dB = 10倍、3dB = 2倍、そして1dB ≈ 1.26倍。この3つの積み木を足したり引いたりするだけで、たいていのdBは頭の中で真数へ変換できる。

使い方は単純で、与えられたdBを10と3の和(または差)に分解し、対応する倍率を掛け合わせる。26dBなら 10 + 10 + 3 + 3 と分解できるので、10 × 10 × 2 × 2 = 400倍。電卓で 10^2.6 を計算すると398.1だから、誤差は0.5%に収まっている。試験の選択肢を絞るには十分すぎる精度である。

逆方向、つまり倍率からdBへ変換するのも同じ道具でできる。倍率を10と2の積に分解すればよい。400倍なら 100 × 4 = 100 × 2 × 2 なので 20 + 3 + 3 = 26dB。8000倍なら 1000 × 8 = 1000 × 2 × 2 × 2 で 30 + 3 + 3 + 3 = 39dB(正確には39.03dB)。この往復ができるようになると、選択肢に並んだ数値のうち明らかに桁の違うものを一瞬で捨てられる。

1dB ≈ 1.26倍という3つめの積み木は、端数を詰めるときに効く。たとえば7dBは 10 − 3 で5倍と読めるが、より細かく 3 + 3 + 1 と読めば 2 × 2 × 1.26 = 5.04倍となり、真の値5.01倍にほぼ一致する。逆に−1dBは約0.79倍で、「1dB落ちる」がおよそ2割減であることが分かる。アンテナや給電線のカタログで0.5dBや1dBの差にこだわる理由も、この数字を知っていれば腑に落ちる。

第2章で「dBは比の単位であって量の単位ではない」と釘を刺した。ところが実務では「受信電力は−100dBmだ」「電界強度は60dBµV/mだ」と、明らかに絶対量を指す言い方をする。矛盾しているように見えるが、種明かしは簡単だ。比べる相手(基準)を1つに固定してしまえば、比はそのまま絶対量になる。単位記号の末尾についているmやWやµV/mは、その基準の宣言である。

dBmの物差しに立つと、無線の風景が一望できる。0dBmが1mW。携帯電話の送信は+23dBm(200mW)前後、この講座で使う10Wの送信機は+40dBm。反対の端には受信の世界があり、受信機が拾える限界はおよそ−100dBm(0.1pW)、その下には常温の熱雑音が−174dBm/Hzという床として広がっている。送信の+40dBmと熱雑音の床の間はおよそ214dB——真数にすれば10の21乗以上の開きが、たった3桁の数字で表現できている。

電界強度のdBµV/mだけは、係数が20であることに注意がいる。電界は電圧に相当する量だから第2章の20log₁₀が効く。1µV/mが0dBµV/m、10µV/mが20dBµV/m、1mV/m(= 1000µV/m)が60dBµV/mである。放送のサービスエリアの規定や、電波障害の許容値が、この単位で書かれている。

このアプリの自由空間伝搬教材を開くと、距離減衰のカーブがきれいな直線として描かれている。曲がっているはずの減衰が、なぜ直線に見えるのか。答えはグラフの目盛りにある。縦軸はdB、つまりすでに対数である。そして横軸の距離も対数目盛りにしてある。両方が対数の紙の上では、べき乗の関係は必ず直線になるのだ。

なぜ直線になるのかは、自由空間損失の式を見れば分かる。距離dが式に入るのは 20log₁₀d の項だけであり、これは「log dの1次式」である。縦軸(dB)を y、横軸(log d)を x と置けば y = 20x + 定数、つまり中学で習った直線の式そのものだ。曲線に見えていたものは、目盛りの取り方のせいで曲がって見えていただけだった。

直線になれば、傾きが法則そのものを語りはじめる。横軸が10倍になる幅を1デケード(decade)と呼ぶ。自由空間では距離が10倍になると損失が 20log₁₀10 = 20dB増えるので、受信電力は20dB下がる。この傾きを−20dB/decadeと書く。グラフを見て「1デケードで何dB落ちているか」を読むだけで、その伝搬がどんな法則に従っているかが分かるのだ。

対数軸のもう1つの効能は、広い範囲を1枚に収めることである。1kmから100kmまでを線形軸で描くと、実務で最も知りたい1km〜10kmの領域が左端の1割へ押し潰される。対数軸なら1〜10kmと10〜100kmが同じ幅を占め、どの距離帯も同じ解像度で読める。桁の広い世界を扱う道具として、対数はグラフの上でも一貫して働いている。

ここまでの道具を全部使って、送信機から受信機までを1本つないでみよう。この計算をリンクバジェット(回線設計)と呼ぶ。予算(バジェット)という名のとおり、送信側で用意した電力という原資に、アンテナ利得という収入を足し、伝搬損失という支出を引いて、受信端にいくら残るかを勘定する作業である。すべてdBで書いてあるので、やることは足し算と引き算しかない。

条件はこうする。送信電力10W、送信アンテナ利得10dBi、周波数1000MHz、距離10km、受信アンテナ利得10dBi。まず送信電力をdBmに直す。10W = 10000mWだから 10log₁₀10000 = 40dBm。第3章の暗算なら 10 + 10 + 10 + 10 で一瞬である。

送信電力に送信アンテナの利得を足したものを等価等方輻射電力(EIRP)と呼ぶ。この回線では 40 + 10 = 50dBm、真数にすれば100Wである。等方性アンテナで100Wを撒いたのと同じ強さを、10Wの送信機と10dBiのアンテナで作り出している——利得が「増幅ではなく集中」であることが、この数字にそのまま表れている。

次に自由空間損失を求める。f = 1000MHz、d = 10kmを式に入れると、20log₁₀1000 = 60、20log₁₀10 = 20。定数の32.45を足して、32.45 + 60 + 20 = 112.45dB。ここでも対数のおかげで、掛け算は一切現れなかった。

答えは−52.45dBmである。第3章の暗算で真数に戻してみよう。−50dBmなら 10^(−5) mW = 10nW、残りの−2.45dBはおよそ0.57倍だから、5.7nW程度。10Wで送り出した電力が、10km先では10億分の1以下になって届いている。この途方もない比を、40 + 10 − 112.45 + 10 という1行の暗算で扱えるようにしたのがデシベルという発明である。

リンクバジェットの最後の仕事は、この受信電力が足りているかを判定することだ。受信機が正しく復調できる最低の電力(受信感度)を−100dBmとすると、余裕は (−52.45) − (−100) = 47.55dB。これが回線マージンである。dBmからdBmを引いたので、単位は比のdBになった——第4章の足し算の文法②がそのまま働いている。47.55dBのマージンは真数で5万倍以上あり、降雨や樹木による多少の損失増加には耐えられる回線だと判断できる。