一陸技｜無線工学B｜過去問
平成29年7月期 A－1
要点（wavelane の要約）: 角周波数で振動する電界と磁界の回転の2式から磁界を消去し、電界だけの波の式へまとめる途中の操作・記号・定数を組合せで答えさせる問題。どちらの演算を両辺に施すかと、定数の2乗の符号が決め手になる。
原文（公式問題文）
A－1 次の記述は、マクスウェルの方程式から波動方程式を導出する過程について述べたものである。［ ］内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、媒質は等方性、非分散性、線形、均質として、誘電率を ε〔F/m〕、透磁率を μ〔H/m〕及び導電率を σ〔S/m〕とする。なお、同じ記号の［ ］内には、同じ字句が入るものとする。 (1) 電界 E〔V/m〕と磁界 H〔A/m〕が共に角周波数 ω〔rad/s〕で正弦的に変化しているとき、両者の間には以下のマクスウェルの方程式が成立しているものとする。 ∇ × E ＝ －jωμH ・・・・・・① ∇ × H ＝ (σ + jωε) E ・・・・・・② (2) 式①の両辺の［ A ］をとると、次式が得られる。 ［ B ］ ∇ × E ＝ －jωμ ［ B ］ H ・・・・・・③ (3) 式③の左辺は、ベクトルの公式により、以下のように表される。 ［ B ］ ∇ × E ＝ ∇∇・E － ∇²E ・・・・・・④ (4) 通常の媒質中では、電子やイオンは存在しないので、 ∇・E ＝ 0 ・・・・・・⑤ (5) 式②～⑤から、H を消去して、E に関する以下の波動方程式が得られる。 ［ C ］ E + γ²E ＝ 0 ここで、γ² ＝ ［ D ］ であり、γ は伝搬定数と呼ばれている。 (6) また、H に関する波動方程式は以下のようになる。 ［ C ］ H + γ²H ＝ 0 A B C D 1 回転 ∇× ∇² －jωμ(σ + jωε) 2 回転 ∇× ∇・ jωμ(σ + jωε) 3 回転 ∇・ ∇・ jωμ(σ + jωε) 4 発散 ∇× ∇・ －jωμ(σ + jωε) 5 発散 ∇・ ∇² jωμ(σ + jωε)
出典: 平成29年7月期 第一級陸上無線技術士「無線工学B」（FB907）A－1（本試験問題）。公益財団法人日本無線協会
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正答: 1
要確認: この正答と解説は、公式解答表との機械的な照合は済んでいますが、人による照合はまだです。 公式と食い違って見えるときは、出典の解答PDFを優先し、サポートからお知らせください。
wavelane の解説（公式の解説ではありません）
電界の回転の式の両辺にもう一度回転をとり、ベクトル恒等式で書き換えてから磁界の式を代入する。移項したときの符号で、伝搬定数の2乗に負号が付く。
- 空欄 A: 回転
- ①の両辺の回転をとると、右辺に磁界の回転が現れて②をそのまま使える。発散をとっても、回転の発散は恒等的に零なので式が進まない。
- 空欄 B: ∇×
- 回転をとる操作は ∇× を左から作用させることである。∇・ にすると左辺が零になり、③として成り立たない。
- 空欄 C: ∇²
- 回転の回転は勾配の発散からラプラシアンを引いた形に書け、電界の発散が零なのでラプラシアンだけが残る。波動方程式の左辺はこのラプラシアンである。
- 空欄 D: −jωμ(σ + jωε)
- ④の左辺は −∇²E、右辺は②を入れて −jωμ(σ + jωε)E である。両辺に −1 を掛けて移項すると ∇²E − jωμ(σ + jωε)E = 0 になるので、γ² を足す形に合わせると γ² は負号付きになる。
この組合せになっているのは選択肢 1 である。
つまずきやすい点
- FB508 の同型問題とは選択肢の並びが違う。字句で覚えず、1行ずつ符号を追って確かめる。
- 損失の無い媒質(σ = 0)なら γ² = ω²με になり、波数の2乗に戻る。符号の検算に使える。
理由から確かめる
- マクスウェルの方程式 徹底解説拡張されたアンペアの法則・ファラデーの法則・マクスウェルの方程式・波動方程式