マクスウェルの方程式 徹底解説 — 2つの質問で読む4本の式

マクスウェルの方程式が難しく見える最大の理由は、「4本の別々の式を覚えるもの」だと思ってしまうことにある。実際には、4本は同じ型の質問を2回ずつしているだけだ。質問A「閉じた面から、場は湧き出すか?」。質問B「閉じたループに沿って、場は渦を巻くか?」。この2つを電界と磁界のそれぞれに尋ねると、答えがちょうど4つ——それがマクスウェルの方程式の正体である。

この表を頭に入れたら、あとは各章で1マスずつ埋めていくだけでよい。ただしその前に、どの式にも登場する∮と∯——「閉じたループに沿って足し合わせよ」「閉じた曲面の全体で足し合わせよ」という2つの勘定のことば——を先に覚えてしまうのが近道だ。物理の前に、まず言葉から。

4本の式に顔を出す∮と∯は、どちらも「閉じたものの上を漏れなく足し合わせよ」という指示である。名前は仰々しいが、成り立ちを分解すると身構える必要がないことが分かる。土台の∫は足し合わせを表す積分記号で、もとは合計(sum)の頭文字Sを縦に引き伸ばした形だ。そこへ重ねた丸(○)が「閉じている」ことを表している。つまり∮も∯も、∫に「閉じている」という条件を書き足しただけの記号にすぎない。

だから記号の意味は、素直に読むだけで出てくる。「閉じたループ(または閉じた曲面)を細かく刻み、各部分で決まった量を数え、漏れなく全部足し合わせよ」。牧場の柵を1本ずつ数えながら敷地を一周するのと同じ、地道な勘定にすぎない。難しいのは足し算ではなく、「何を数えるか」のほうである。そして数える対象は2種類しかない。

1つ目は閉曲面積分——質問A「湧き出すか?」の勘定だ。閉じた曲面を小さなタイルに刻む。各タイルの上で、場のベクトルのうち「タイルを垂直に貫く成分」だけを取り出し、タイルの面積を掛ける。外向きに出るなら正、内向きに入るなら負。これを全タイルぶん足した合計が「湧き出し(フラックス)」である。斜めにかすめる成分は貫いていないので数えない——その選別をしているのが内積(・)だ。

2つ目は周回積分(閉曲線の線積分)——質問B「渦を巻くか?」の勘定だ。今度は閉じたループを小さな区間に刻む。各区間で、場のベクトルのうち「進む向きに沿う成分」だけを取り出し、区間の長さを掛けて足す。合計が「循環(じゅんかん)」である。一周勘定してゼロでなければ、その場はループに沿って正味一周ぶん押している——つまり渦を巻いている。

質問A「閉じた面から湧き出すか?」を、まず電界に尋ねる。答えは「湧き出す。その総量は、面の中にある電荷で決まる」。これが第1式、ガウスの法則である。

「面の形は何でもよい」は、ただの注釈ではなく絶大な威力を持つ。点電荷Qのまわりに、中心を合わせて半径rの球面を張ってみよう。対称性から、電界は球面上のどこでも同じ強さで、面を垂直に貫くはずだ。すると面積分の勘定は「同じ値×球の表面積」の掛け算1回で終わってしまう。

同じ質問を磁界に尋ねると、答えは素っ気ない。「湧き出さない。どんな閉曲面でも、勘定は必ずゼロ」。棒磁石を半分に割っても、N極だけの破片は手に入らない——切り口に必ず新しいSとNのペアが現れる。何回割っても同じだ。磁力線に始点や終点(=湧き出し口)は存在せず、必ず閉じたループを描く。

質問B「閉じたループに沿って渦を巻くか?」を電界に尋ねる。時間が止まったような静的な世界では、答えはノーだ。静電界の中で電荷をどんな経路で一周させても、押される量と押し戻される量が釣り合って勘定はゼロになる(だからこそ「電位」という高さの概念が定義できる)。ところが、ループを貫く磁束が変化した瞬間、答えが変わる。

右辺のマイナス符号がレンツの法則である。生まれる渦の向きは、必ず磁束の変化を妨げる向きになる。磁束が増えるなら打ち消す磁界を作る向きに、減るなら補う向きに。これはエネルギー保存の現れで、もし符号が逆(変化を助ける向き)だったら、変化が変化を呼んで勝手にエネルギーが増殖してしまう。

発電機は磁石とコイルの相対運動でdΦ/dtを作り続ける装置であり、変圧器は一次側の交流が作るdΦ/dtを二次側のループが受け取る装置であり、ICカードの非接触給電も同じ原理だ。試験でもe=−dΦ/dt(N回巻きならe=−N・dΦ/dt)として、無線工学の枠を超えて頻出する。

表の最後のマス。「磁界は渦を巻くか?」——アンペールの答えは「巻く。電流の周りに」(基礎編第3章の右ねじの法則)。勘定のことばで書くとこうなる。

穴はコンデンサの充電で露わになる。ここで「ループを貫く電流」の勘定方法を思い出そう: ループに石けん膜のような面を張り、その膜を貫く電流を数えるのだった。そして膜の張り方は自由なはず——どう張っても同じループなのだから、答えは同じでなければならない。ところが、コンデンサへ向かう導線のまわりにループを描き、膜を平らに張ると導線が貫くので答えはI。膜を風船のように膨らませて極板の隙間を通すと、隙間に導線は無いので答えは0。同じループの磁界が、膜の張り方で変わってしまった。これは矛盾である。

マクスウェルの一手はこうだ。極板の隙間では、電荷が溜まりつつある——つまり極板間の電束Ψが増え続けている。「電束の時間変化dΨ/dtも、電流と同格に磁界の渦をつくる」と認めてしまえばどうか。平らな膜の勘定はI、膨らませた膜の勘定はdΨ/dt。コンデンサではこの2つがちょうど等しいので、どちらの膜でも答えが一致し、矛盾は消える。この付け足された項が変位電流である。

仕上げに、この4本から電波を取り出そう。電荷も電流も無い真空(Q=0、I=0)では、湧き出しの2本はどちらも「ゼロ」になり、渦の2本だけがほとんど対称な形で残る: 磁界が変化すれば電界の渦、電界が変化すれば磁界の渦。この「お互いさま」の構造を、x方向へ進む平面波(Eはy方向、Bはz方向だけを向く)に限って微分の形で書き直すと、2本の短い式になる。

あとは代数の一手だけだ。1本目をもう一度xで微分すると∂²E/∂x²と∂²B/∂x∂tが現れる。後者に2本目を代入してBを消去すれば、Eだけの式が残る。

ではその速さを、実際に数値で確かめよう。ε₀(真空の誘電率)はコンデンサの実験で、μ₀(真空の透磁率)はコイルと力の実験で決まる定数——どちらも電波とは無関係の、机の上の電気実験の産物である。

副産物がもう1つある。同じ導出の途中で、波の中の電界と磁界の比も決まってしまう。2本の対称な式が両立するには、EとHの大きさが勝手な組み合わせではいられないからだ。なお、ここまでBで進めてきた磁束密度は、B=μ₀Hの関係で磁界Hへ読み替えてから比を取る。

最後に、覚えた4本を逆から確かめる思考実験をしよう。1本ずつ式を消して、世界がどう壊れるかを見る。式の「役割」はこれがいちばん記憶に残る。

逆に言えば、4本が揃っているからこそ、送信機の電流の揺れが空間の連鎖となって飛び、あなたの端末に届く。このページを無線ネットワーク越しに読めているという事実そのものが、マクスウェルの方程式の日々更新され続ける実証実験なのである。